Родился Иван Дмитриевич 11 ноября 1906 года в Рязани в семье железнодорожника, где воспитывалось семеро детей. Окончил начальную железнодорожную школу, с 15 лет работал в депо Рязань-1 учеником слесаря. В 1921 году вступил в комсомол, а уже через два года был направлен в Ленинградскую военно-техническую лётную школу, которую успешно окончил. Так начался его путь в авиации.
Служил в разных городах страны — Георгиевске, Оренбурге, Баку, Киеве, Борисоглебске. Семь лет был инструктором в лётном училище, подготовил сотни курсантов, сам стал командиром эскадрильи. В 1931 году стал членом ВКП(б) — Всесоюзной коммунистической партии (большевиков), а в 1936 году как один из лучших командиров был награждён орденом Красной Звезды.
В 1939–1940 годах участвовал в военных действиях на Западной Украине, в Белоруссии и советско-финской войне. Великую Отечественную встретил заместителем командира авиационного полка в Карело-Финской республике. С первых дней войны совершал боевые вылеты, командовал истребительным полком, а позже — разведывательным.
28 августа 1943 года, выполняя важное разведзадание, его самолёт был подбит вражеской зениткой. До последнего Завражнов пытался довести машину до своих, чтобы сохранить ценные данные, но погиб вместе с штурманом.
Звание Героя Советского Союза Ивану Дмитриевичу Завражнову присвоено посмертно 28 сентября 1943 года. Он награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Александра Невского, Отечественной войны I степени, Красной Звезды.
Его имя увековечено в Рязани: существует проезд Завражнова, на здании депо установлена мемориальная доска, а в посёлке Выползово одна из улиц носит его имя.
Подвиг и жизнь Ивана Дмитриевича — пример мужества, верности Родине и настоящего героизма.